Parábola Bloque IV

 

Construye mediante la parábola y sus elementos soluciones creativas a problemáticas del medio que lo rodea

Convierte de la ecuación ordinaria a la general, de manera crítica y reflexiva para representar y trazar parábolas presentes su contexto.

2.- Lugar geométrico de la parábola

2.1 Definición, elementos y trazado de la parábola

2.2 Ecuación de la parábola

Ø  Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en y fuera del origen

Ecuación general de la parábola

DEFINICIÓN DE PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que “parecerá” más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).

Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz.

Foco: Es el punto fijo F la parábola siempre abre hacia el foco

Directriz: Es la recta que pasa del lado contrario al foco y a la misma distancia

Distancia focal «p»: Es la distancia entre el vértice y el  foco

Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco

Lado recto LR: es el ancho de la apertura de la parábola LR= /4p/

SE MUESTRAN LAS ECUACIONES DE LA PARABOLA CUANDO EL VERTICE COINCIDE CON EL ORIGEN

EJEMPLO: Obtener los elementos de la parábola dada su ecuación   y² = 20x   

La parábola será horizontal de acuerdo a su fórmula    y² = 4px

 y² = 20x    al compar la ecuación con el ejemlo observamos que 4p = 20

y² = 4px     por lo tanto tenemos que

4p = 20

Despejamos a p

p = 20/4

p = 5  es la distancia del vértice al foco 

EJEMPLO: obtener los elementos de la parábola dada su ecuación. x² = 16y   

La parábola será vertical según su fórmula    x² = 4py

Entonces comparamos

 x² = 16y   

x² = 4py       por lo tanto tenemos que

4p = 16

 Despejamos a p

p = 16/4

p = 4   es la distancia del centro al foco

SE MUESTRAN LAS ECUACIONES DE LA PARABOLA CUANDO EL VERTICE COINCIDE CON EL ORIGEN

Determina los elementos de la parábola a partir de la ecuación dada: 

Ecuación general de la circunferencia

Si desarrollamos la ecuación ordinaria de la circunferencia

Obtenemos la ecuación general de la circunferencia 

 

una de las caracteristicas de la ecuacion general de la circunferencia es que sus termins cuadraticos tienen el mismo coeficiente ejemplos:

Para llegar a la ecuacion general debemos seguir los siguiente pasos:

    1. Desarrollar los binomios conjugados

    2. Reducir terminos semejantes

    3. Iguar a cero

    4. acomodar terminos en x

Ejemplo; Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general con los siguientes datos: centro ( -2,1) y radio =3

Resolución

Identificamos terminos  y sustituimos en la ecuación ordinaria  

h=-2     k= 1   r =3

forma ordinaria    (x- h)^2 + (y - k)^2 = r^2

                             (x-(-2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2 

                            

                             (x+2)^2 + (y - 1)^2 = 9  ecuacion ordinaria

Pasamos a la general a partir de la ecuacion ordinaria

1. Resolver los binomios al cuadrado 

 x^2 + 4x + 4  + y^2 - 2y + 1 = 9

2. Reducimos términos semejantes 

 x^2 + 4x + y^2 - 2y + 5 = 9

3. Igualamos a cero pasando el +9 al otro lado de la igualdad con signo contrario 

 x^2 + 4x + y^2 - 2y + 5 = 9

 x^2 + 4x + y^2 - 2y + 5 - 9 = 0

4.  Reducir términos nuevamente 

 x^2 + 4x + y^2 - 2y - 4 = 0 

5. Finalmente acomodar primero los términos cuadráticos

  

 x^2  + y^2 + 4x- 2y - 4 = 0    Ecuacion general 

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relacion a un punto fijo de coordenadas (h,k)

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio r

La  ecuación de la circunferencia con centro (h,k) es:

Si el centro de la circunferencia está en el origen de los ejes coordenados, entonces h = 0 y k = 0 or lo tanto la ecuacion se reduce a:

Esta ecuación con centro en el origen se llama forma canónica 

Para encontrar la ecuacion ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen debe de seguir los siguientes pasos 

1. Identificar las coordenadas del centro  (h , k)
2. Sustituir en la ecuación ordinaria 
3. Cuida los signos de la ecuacion y el signo del número

Ejemplo: Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (2, -3) y radio 4

Identificar         h = 2       k = -3      r= 4

Sustituye en la ecuación  

(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2    "recuerda que el simbolo (^ )significa que esta elevado "

Desarrolla y multiplica los signos correspondientes 

(x - 2)^2 + (y + 3))^2 = 16  

Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia 

Nota: Debes recordar que la ecuación ordinaria tiene sus propios signos al igual que cada uno de los números, debes tener cuidado al sustituir y cada que te encuentres con el signo de la ecuación y el signo de cualquier número debes adicionar parentesis para que puedas aplicar la ley de signos.

Bloque III LA CIRCUNFERENCIA

 

Aplica el pensamiento critico y reflexivo analizando el concepto de circunferencia y sus elementos en diferentes situaciones contextuales

Subtemas

1. Lugar geométrico de la circunferencia
2. Ecuación de la circunferencia
3. Ecuación de la forma ordinaria de la circunferencia
4. Ecuación de la forma general de la circunferencia

       

Ecuación de la circunferencia cuando el centro coincide con el origen es decir (0,0)

Ecuación 1

La gráfica la pueden encontrar de la siguiente manera y es pendiendo el radio de esta tenga.

Para determinar la ecuacion ordinaria y su gráfico de la circunferencia con centro en el origen (0,0), deben utilizar la ecucación 1 arriba mencionada

Ejemplo: Determine la ecuación ordinaria de la circunferencia y su gráfica con un centro en el origen y radio 6

Los pasos a seguir son los siguientes

1. Ubica los datos que tienes 
2. Si se sabe que esta en el centro entonces las coordenadas del  son (0,0)
3. El radio es 4  r = 4
4. sustituimos los valores en la ecuación ordinaria 1 ☝
5. Desarrollas los valores necesario y
6. Finalmente realiza en el plano cartesiano la gráfica

Revisa a detalle el desarrollo 👀👇

x^2 + y^2 = r^2

x^2 + y^2 = 4^2

x^2 + y^2 = 16   ésta es la ecuación ordinaria de la circunferencia

por último realiza el gráfico mostrando el radio de tu circunferencia a partir del centro y traza