Ecuación general de la circunferencia

Si desarrollamos la ecuación ordinaria de la circunferencia

Obtenemos la ecuación general de la circunferencia 

 

una de las caracteristicas de la ecuacion general de la circunferencia es que sus termins cuadraticos tienen el mismo coeficiente ejemplos:

Para llegar a la ecuacion general debemos seguir los siguiente pasos:

    1. Desarrollar los binomios conjugados

    2. Reducir terminos semejantes

    3. Iguar a cero

    4. acomodar terminos en x

Ejemplo; Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general con los siguientes datos: centro ( -2,1) y radio =3

Resolución

Identificamos terminos  y sustituimos en la ecuación ordinaria  

h=-2     k= 1   r =3

forma ordinaria    (x- h)^2 + (y - k)^2 = r^2

                             (x-(-2)^2 + (y - 1)^2 = 3^2 

                            

                             (x+2)^2 + (y - 1)^2 = 9  ecuacion ordinaria

Pasamos a la general a partir de la ecuacion ordinaria

1. Resolver los binomios al cuadrado 

 x^2 + 4x + 4  + y^2 - 2y + 1 = 9

2. Reducimos términos semejantes 

 x^2 + 4x + y^2 - 2y + 5 = 9

3. Igualamos a cero pasando el +9 al otro lado de la igualdad con signo contrario 

 x^2 + 4x + y^2 - 2y + 5 = 9

 x^2 + 4x + y^2 - 2y + 5 - 9 = 0

4.  Reducir términos nuevamente 

 x^2 + 4x + y^2 - 2y - 4 = 0 

5. Finalmente acomodar primero los términos cuadráticos

  

 x^2  + y^2 + 4x- 2y - 4 = 0    Ecuacion general 

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de un punto de coordenadas (x,y) que se mueve sobre un plano, de manera que su distancia permanece constante con relacion a un punto fijo de coordenadas (h,k)

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante es el radio r

La  ecuación de la circunferencia con centro (h,k) es:

Si el centro de la circunferencia está en el origen de los ejes coordenados, entonces h = 0 y k = 0 or lo tanto la ecuacion se reduce a:

Esta ecuación con centro en el origen se llama forma canónica 

Para encontrar la ecuacion ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen debe de seguir los siguientes pasos 

1. Identificar las coordenadas del centro  (h , k)
2. Sustituir en la ecuación ordinaria 
3. Cuida los signos de la ecuacion y el signo del número

Ejemplo: Determina la ecuación de la circunferencia con centro en (2, -3) y radio 4

Identificar         h = 2       k = -3      r= 4

Sustituye en la ecuación  

(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2    "recuerda que el simbolo (^ )significa que esta elevado "

Desarrolla y multiplica los signos correspondientes 

(x - 2)^2 + (y + 3))^2 = 16  

Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia 

Nota: Debes recordar que la ecuación ordinaria tiene sus propios signos al igual que cada uno de los números, debes tener cuidado al sustituir y cada que te encuentres con el signo de la ecuación y el signo de cualquier número debes adicionar parentesis para que puedas aplicar la ley de signos.